2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 47°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Задание 2

Дано:

• Параллелограмм ABCD
• AC = 2 * AB
• ∠ACD = 47°

Найти: меньший угол между диагоналями AC и BD.

Решение:

1. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: $$AO = OC = AC/2$$, $$BO = OD = BD/2$$.
2. По условию $$AC = 2 \times AB$$. Так как $$AO = OC = AC/2$$, то $$AO = OC = AB$$.
3. Рассмотрим треугольник ABO. Стороны AB и AO равны ($$AB = AO$$). Следовательно, треугольник ABO равнобедренный.
4. В равнобедренном треугольнике ABO углы при основании равны: $$∠ABO = ∠AOB$$.
5. Угол ∠ACD и ∠BAC являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Следовательно, $$∠BAC = ∠ACD = 47°$$.
6. Так как $$∠BAC = 47°$$, то в равнобедренном треугольнике ABO, $$∠ABO = ∠BAC = 47°$$.
7. Углы ∠AOB и ∠COD являются вертикальными, поэтому $$∠AOB = ∠COD$$.
8. Углы ∠BOC и ∠AOD являются вертикальными, поэтому $$∠BOC = ∠AOD$$.
9. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, $$∠AOB + ∠BOC = 180°$$.
10. В треугольнике ABO, сумма углов равна 180°: $$∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 180°$$.
11. Подставим известные значения: $$47° + 47° + ∠AOB = 180°$$.
12. $$94° + ∠AOB = 180°$$.
13. $$∠AOB = 180° - 94° = 86°$$.
14. Угол ∠AOB является одним из углов между диагоналями.
15. Другой угол между диагоналями - ∠BOC. $$∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 86° = 94°$$.
16. Меньший угол между диагоналями - это $$∠AOB = 86°$$.

Ответ: 86