1. В угол С величиной 107° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Пусть точка пересечения касательных будет Р (вершина угла C). Угол P = 107°.
• Треугольники OAP и OBP являются прямоугольными, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной (угол OAP = угол OBP = 90°).
• OP является биссектрисой угла P, поэтому угол APO = угол BPO = 107° / 2 = 53.5°.
• Рассмотрим четырехугольник OAPB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• Угол AOB + угол OAP + угол APB + угол OBP = 360°.
• Угол AOB + 90° + 107° + 90° = 360°.
• Угол AOB + 287° = 360°.
• Угол AOB = 360° - 287° = 73°.

Ответ: 73°