8 Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Задание 8

Дано:

• Из точки А проведены две касательные к окружности с центром O.
• Угол между касательными равен 60°.
• Расстояние от A до O равно 8.

Найти: радиус окружности (r).

Решение:

1. Пусть точки касания будут K и M. Тогда AK и AM — касательные.
2. \( \angle KAM = 60^\circ \).
3. \( \triangle AKO \) и \( \triangle AMO \) — прямоугольные треугольники (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
4. \( \angle KAO = \angle MAO = \frac{1}{2} \angle KAM = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).
5. В прямоугольном \( \triangle AKO \) катет OK (радиус окружности) лежит напротив угла \( \angle KAO = 30^\circ \).
6. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. \( OK = \frac{1}{2} AO \).
8. Подставим значение AO: \( r = \frac{1}{2} \nolimits \times 8 = 4 \).

Ответ: 4