8. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Решение:

• Пусть точки касания будут B и C. Угол BAC = 60°.
• Треугольники ABO и ACO являются прямоугольными, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной (угол OBA = угол OCA = 90°).
• AO является биссектрисой угла BAC, поэтому угол BAO = угол CAO = 60° / 2 = 30°.
• В прямоугольном треугольнике ABO:
• AO = 8 (расстояние от А до О).
• Угол BAO = 30°.
• Мы можем использовать тригонометрию для нахождения OB (радиус). sin(30°) = OB / AO.
• 0.5 = OB / 8.
• OB = 0.5 * 8 = 4.

Ответ: 4