1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A и B — прямые, BC = 6, AD = 8, AB = 2√3. а) Найдите площадь четырехугольника ABCD. б) Найдите углы C и D четырехугольника ABCD. в) Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD. г) Выясните, можно ли вписать в четырехугольник ABCD окружность. д) Выясните, можно ли провести окружность через точки A, B, C, D. е) Выясните, подобны ли треугольники ABC и ACD.

Расположим вершины в координатах: A(0; 0), B(2√3; 0), C(2√3; 6), D(0; 8). Это соответствует прямым углам A и B и выпуклому порядку вершин.

а) Диагональ AC делит четырехугольник на два прямоугольных треугольника. Площадь ABC равна (1/2) · AB · BC = 6√3. Площадь ACD равна (1/2) · AB · AD = 8√3. Поэтому площадь ABCD равна 14√3.

б) Из координат получаем CD = 4 и AC = 4√3. В треугольнике BCD угол между CB и CD равен 60°, следовательно, ∠C = 60°. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому ∠D = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°.

в) Середина AB имеет координаты (√3; 0), а середина CD — (√3; 7). Расстояние между ними равно 7.

г) Для вписанной в четырехугольник окружности суммы длин противоположных сторон должны быть равны. AB + CD = 2√3 + 4, тогда как BC + AD = 14. Эти суммы не равны, поэтому вписать окружность нельзя.

д) Для вписанного в окружность четырехугольника сумма противоположных углов равна 180°. Здесь ∠A + ∠C = 90° + 60° = 150°, поэтому окружность через все четыре вершины провести нельзя.

е) Стороны треугольника ABC равны 2√3, 6 и 4√3. Стороны треугольника ACD равны 4√3, 4 и 8. Их соответствующие стороны не пропорциональны, поэтому треугольники не подобны.

Ответ: а) 14√3; б) ∠C = 60°, ∠D = 120°; в) 7; г) нет; д) нет; е) треугольники не подобны.