2°. В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность с центром O, касающаяся сторон треугольника AB, BC, AC в точках M, T, P соответственно. Расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника ABC до вершины C равно √8 см. Найдите радиус окружности, угол TOP и угол TMP.

Обозначим радиус окружности через r. Так как ∠C = 90°, точка O лежит на биссектрисе угла C, поэтому в прямоугольном треугольнике COP угол OCP равен 45°, а OP = r.

Следовательно, CO = r√2. По условию CO = √8 = 2√2 см, значит r = 2 см.

Радиусы OT и OP перпендикулярны сторонам BC и AC. Поскольку BC ⟂ AC, угол TOP равен 90°.

Угол TMP — вписанный угол окружности, опирающийся на дугу TP, не содержащую M. Центральный угол TOP, опирающийся на меньшую дугу TP, равен 90°, поэтому ∠TMP = 45°.

Ответ: радиус 2 см; ∠TOP = 90°; ∠TMP = 45°.