1 вариант. 3. а) Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. б) В треугольнике ABC известно, что BC = 7√2 см, ∠A = 135°, ∠B = 30°. Найдите сторону AC треугольника. в) Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.

а) По теореме косинусов для стороны напротив угла 30°:

\(c^2=8^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot8\cdot4\sqrt3\cdot\cos30^\circ=64+48-96=16\), поэтому \(c=4\) см.

Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12\cdot8\cdot4\sqrt3\cdot\sin30^\circ=8\sqrt3\) см².

б) По теореме синусов: \(\dfrac{AC}{\sin30^\circ}=\dfrac{BC}{\sin135^\circ}\). Следовательно, \(AC=7\sqrt2\cdot\dfrac{1/2}{\sqrt2/2}=7\) см.

в) Наибольшая сторона — 12 см. Сравним квадраты: \(12^2=144\), а \(5^2+9^2=106\). Поскольку \(144>106\), треугольник тупоугольный.

Ответ: а) 4 см, \(8\sqrt3\) см²; б) 7 см; в) тупоугольный.