2 вариант. 3. а) Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними — 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. б) В треугольнике ABC известно, что AC = 9√3 см, ∠B = 60°, ∠C = 45°. Найдите сторону AB треугольника. в) Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 14 см.

а) По теореме косинусов для третьей стороны c:

\(c^2=6^2+(4\sqrt2)^2-2\cdot6\cdot4\sqrt2\cdot\cos135^\circ=36+32+48=116\), поэтому \(c=2\sqrt{29}\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt2\cdot\sin135^\circ=12\) см².

б) \(\angle A=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\). По теореме синусов: \(\dfrac{AB}{\sin45^\circ}=\dfrac{AC}{\sin60^\circ}\), значит \(AB=9\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2}=9\sqrt2\) см.

в) Наибольшая сторона — 14 см. Сравним: \(14^2=196\), \(9^2+10^2=181\). Так как \(196>181\), треугольник тупоугольный.

Ответ: а) \(2\sqrt{29}\) см, 12 см²; б) \(9\sqrt2\) см; в) тупоугольный.