1 вариант. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

Поскольку AC ⟂ CD и ∠D = 60°, угол между AC и AD равен 30°. Так как AC — биссектриса угла A, ∠CAD = ∠BAC = 30°, а ∠A = 60°.

В прямоугольном треугольнике ACD углы равны 30°, 60° и 90°. Обозначим CD = x. Тогда AD = 2x, AC = √3x.

В стандартной нумерации трапеции AB ∥ CD. Из ∠BAC = 30° следует, что AB образует угол 60° с AC и параллелен CD; разложение по направлениям даёт AB = x, BC = x/2.

Периметр: x + 2x + √3? Для проверки используем координаты: положим A = (0, 0), D = (2x, 0), C = (3x/2, √3x/2). Поскольку AB ∥ CD, а CD имеет направление под углом 120° к положительной оси, точка B на луче AB, образующем с AD угол 60°, определяется условием B − A = t(1/2, √3/2) и B − C ∥ D − C. Получаем t = x, а BC = x/2.

Следовательно, периметр равен AB + BC + CD + AD = x + x/2 + x + 2x = 9x/2 = 35, откуда x = 70/9 см. Поэтому AB = x = 70/9 см.

Ответ: 70/9 см.