1. Вычислить (1-4).

1. Вычислить (1-4)

1. 1. Найти \(
   
   cos \alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).
   Так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) (четвёртый квадрант), \( \cos \alpha > 0 \). Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
   \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
2. 2. Найти \( \sin \alpha \) и \( \text{tg} \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{4} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).
   Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (второй квадрант), \( \sin \alpha > 0 \) и \( \text{tg} \alpha < 0 \).
   \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16} \]
   \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4} \]
   \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{11}}{4}}{-\frac{\sqrt{5}}{4}} = -\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{55}}{5} \]
3. 3. Найти \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \), если \( \text{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \) и \( 8\pi < \alpha < \frac{17\pi}{2} \).
   Угол \( \alpha \) находится в \( 8\pi + \frac{\pi}{2} < \alpha < 8\pi + \frac{2\pi}{2} \), то есть \( 8.5\pi < \alpha < 9\pi \). Это соответствует второму квадранту. Значит, \( \sin \alpha > 0 \) и \( \cos \alpha < 0 \).
   \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) ⇒ \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin \alpha \).
   \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
   \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{\sqrt{5}}{2} \sin \alpha\right)^2 = 1 \]
   \[ \sin^2 \alpha + \frac{5}{4} \sin^2 \alpha = 1 \]
   \[ \frac{9}{4} \sin^2 \alpha = 1 \]
   \[ \sin^2 \alpha = \frac{4}{9} \]
   \[ \sin \alpha = \frac{2}{3} \] (так как \( \sin \alpha > 0 \))
   \[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] (но в 2-м квадранте \( \cos \alpha < 0 \), значит, \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \)).
4. 4. Найти \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \), если \( \text{tg} \alpha = \frac{3}{4} \) и \( 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} \).
   Угол \( \alpha \) находится в \( 3\pi + 0 < \alpha < 3\pi + \frac{\pi}{2} \), то есть в третьем квадранте. Значит, \( \sin \alpha < 0 \) и \( \cos \alpha < 0 \).
   \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{4} \) ⇒ \( \sin \alpha = \frac{3}{4} \cos \alpha \).
   \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
   \[ \left(\frac{3}{4} \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]
   \[ \frac{9}{16} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
   \[ \frac{25}{16} \cos^2 \alpha = 1 \]
   \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \]
   \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] (так как \( \cos \alpha < 0 \))
   \[ \sin \alpha = \frac{3}{4} \cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} \]