2. Выяснить, существует ли угол а, для которого выполнены заданные условия (5-6).

2. Выяснить, существует ли угол а, для которого выполнены заданные условия (5-6)

1. 5. Существует ли угол \( \alpha \), для которого \( \sin \alpha = \frac{1}{9} \) и \( \cos \alpha = \frac{8}{9} \)?
   Проверим основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \[ \left(\frac{1}{9}\right)^2 + \left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{1}{81} + \frac{64}{81} = \frac{65}{81} \]
   Так как \( \frac{65}{81} \neq 1 \), такого угла \( \alpha \) не существует.
2. 6. Существует ли угол \( \alpha \), для которого \( \cos \alpha = \frac{3}{4} \) и \( \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \)?
   Если \( \cos \alpha = \frac{3}{4} \), то \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \).
   Значит, \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \>.
   Рассмотрим \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \>.
   Если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} \), то \( \text{tg} \alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \>. Это условие выполнено.
   Если \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4} \), то \( \text{tg} \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3} \>.
   Следовательно, такой угол \( \alpha \) существует (когда \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} \)).