Зная, что sina + cosa = 1/2, найти sin^4 a + cos^4 a.

Задание: Зная, что \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \), найти \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \).

Из предыдущего задания мы знаем, что \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{4} \), следовательно, \( \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{8} \>.

Возведём в квадрат равенство \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\[ \left( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \right)^2 = 1^2 \]

Раскроем скобки:

\[ \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 \]

Перегруппируем слагаемые:

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 (\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 1 \]

Подставим значение \( \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{8} \):

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \left(\frac{9}{64}\right) = 1 \]

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + \frac{18}{64} = 1 \]

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + \frac{9}{32} = 1 \]

Теперь найдём \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \):

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - \frac{9}{32} \]

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{32}{32} - \frac{9}{32} \]

\[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{23}{32} \]

Ответ: \( \frac{23}{32} \).