1. Вычислите: $$1 \frac{2}{3} : \left| \frac{4}{5} - 1 \frac{5}{18} \right|$$

Решение:

1. Приведем смешанные числа к неправильным дробям: \( 1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} \) и \( 1 \frac{5}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 5}{18} = \frac{23}{18} \).
2. Вычислим разность в скобках: \( \frac{4}{5} - \frac{23}{18} \). Общий знаменатель — \( 90 \). \( \frac{4 \cdot 18}{90} - \frac{23 \cdot 5}{90} = \frac{72 - 115}{90} = -\frac{43}{90} \).
3. Найдем модуль этого числа: \( \left| -\frac{43}{90} \right| = \frac{43}{90} \).
4. Разделим первую дробь на полученное значение: \( \frac{5}{3} : \frac{43}{90} = \frac{5}{3} \cdot \frac{90}{43} = \frac{5 \cdot 90}{3 \cdot 43} \).
5. Сократим дробь: \( \frac{5 \cdot 30}{43} = \frac{150}{43} \).

Ответ: \( \frac{150}{43} \).