7. Вычислите: $$\left( 36a^2 - \frac{1}{16}a^2 \right) : \left( 6a - \frac{1}{4}a \right)$$ при $$a = \frac{1}{6}$$

Решение:

1. Упростим выражение в первой скобке: \( 36a^2 - \frac{1}{16}a^2 = \left( 36 - \frac{1}{16} \right) a^2 = \left( \frac{36 \cdot 16 - 1}{16} \right) a^2 = \left( \frac{576 - 1}{16} \right) a^2 = \frac{575}{16} a^2 \).
2. Упростим выражение во второй скобке: \( 6a - \frac{1}{4}a = \left( 6 - \frac{1}{4} \right) a = \left( \frac{6 \cdot 4 - 1}{4} \right) a = \left( \frac{24 - 1}{4} \right) a = \frac{23}{4} a \).
3. Разделим первое упрощенное выражение на второе: \( \frac{575}{16} a^2 : \frac{23}{4} a = \frac{575}{16} a^2 \cdot \frac{4}{23a} \).
4. Сократим: \( \frac{575 \cdot 4 \cdot a^2}{16 \cdot 23 \cdot a} = \frac{575 \cdot a}{4 \cdot 23} \).
5. Вычислим \( 575 / 23 \): \( 575 \div 23 = 25 \).
6. Упрощенное выражение: \( \frac{25a}{4} \).
7. Подставим \( a = \frac{1}{6} \): \( \frac{25 \cdot \frac{1}{6}}{4} = \frac{\frac{25}{6}}{4} = \frac{25}{6 \cdot 4} = \frac{25}{24} \).

Ответ: \( \frac{25}{24} \).