1. Выполните деление: 1) а) (3a²/b) : (b/a³); б) −(2x²/y) : (6x³/b²); в) (9m/14n) : (4m²/21n²); г) 12x² : (6x/c); д) (56y²/a²) : (16y³). 2) а) (xy + y²)/(a − 3b) : (x² − y²)/(2a − 6b); б) (y − 8)/(x² − 4) : (2y − 16)/(3x − 6); в) (c² − 9)/(c² + 6c + 9) : (3 − c)/(c + 3); г) (p² + 4p + 4)/(p² − 3p) : (p + 2)/(p − 3). 3) а) (b² + 2b + 4)/(3b − 4) : (b³ − 8)/(9b² − 16); б) (27 + a³)/(81 − a⁴) : (a² − 3a + 9)/(a² + 9).

При делении на дробь умножаем на обратную ей. В примерах с буквенными дробями сокращаем только общие множители; исходные выражения должны быть определены, а делитель — отличен от нуля.

1) Выполните деление

а) \(\dfrac{3a^2}{b}:\dfrac{b}{a^3}=\dfrac{3a^2}{b}\cdot\dfrac{a^3}{b}=\dfrac{3a^5}{b^2}.\)

б) \(-\dfrac{2x^2}{y}:\dfrac{6x^3}{b^2}=-\dfrac{2x^2}{y}\cdot\dfrac{b^2}{6x^3}=-\dfrac{b^2}{3xy}.\)

в) \(\dfrac{9m}{14n}:\dfrac{4m^2}{21n^2}=\dfrac{9m}{14n}\cdot\dfrac{21n^2}{4m^2}=\dfrac{27n}{8m}.\)

г) \(12x^2:\dfrac{6x}{c}=12x^2\cdot\dfrac{c}{6x}=2cx.\)

д) \(\dfrac{56y^2}{a^2}:16y^3=\dfrac{56y^2}{a^2\cdot16y^3}=\dfrac{7}{2a^2y}.\)

2) Разложим многочлены на множители и сократим

а) \(\dfrac{xy+y^2}{a-3b}:\dfrac{x^2-y^2}{2a-6b}=\dfrac{y(x+y)}{a-3b}\cdot\dfrac{2(a-3b)}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{2y}{x-y}.\)

б) \(\dfrac{y-8}{x^2-4}:\dfrac{2y-16}{3x-6}=\dfrac{y-8}{(x-2)(x+2)}\cdot\dfrac{3(x-2)}{2(y-8)}=\dfrac{3}{2(x+2)}.\)

в) \(\dfrac{c^2-9}{c^2+6c+9}:\dfrac{3-c}{c+3}=\dfrac{(c-3)(c+3)}{(c+3)^2}\cdot\dfrac{c+3}{3-c}=-1,\) поскольку \(3-c=-(c-3)\).

г) \(\dfrac{p^2+4p+4}{p^2-3p}:\dfrac{p+2}{p-3}=\dfrac{(p+2)^2}{p(p-3)}\cdot\dfrac{p-3}{p+2}=\dfrac{p+2}{p}.\)

3) Используем формулы разности кубов и разности квадратов

а) \(\dfrac{b^2+2b+4}{3b-4}:\dfrac{b^3-8}{9b^2-16}=\dfrac{b^2+2b+4}{3b-4}\cdot\dfrac{(3b-4)(3b+4)}{(b-2)(b^2+2b+4)}=\dfrac{3b+4}{b-2}.\)

б) \(\dfrac{27+a^3}{81-a^4}:\dfrac{a^2-3a+9}{a^2+9}=\dfrac{(a+3)(a^2-3a+9)}{(3-a)(3+a)(a^2+9)}\cdot\dfrac{a^2+9}{a^2-3a+9}=\dfrac{1}{3-a}.\)