5. При каких целых n значение выражения (n − 3)² : n² является целым числом?

Нужно, чтобы \(n\ne0\), так как знаменатель не может быть равен нулю. Преобразуем выражение:

\(\dfrac{(n-3)^2}{n^2}=\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^2.\)

Если квадрат рационального числа является целым, то само это рациональное число целое. Значит, \(1-\dfrac{3}{n}\) должно быть целым, откуда \(\dfrac{3}{n}\) — целое число. Следовательно, целое \(n\) должно быть делителем числа 3.

Проверяем делители: при \(n=1,-1,3,-3\) значения выражения соответственно равны \(4,16,0,4\).

Ответ: \(n\in\{-3,-1,1,3\}\).