1. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания к большему, делит большее основание на два отрезка. Один из этих отрезков равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований. По условию, большее основание разделено на отрезки длиной 3 и 5.

1. Определим, какой отрезок соответствует полуразности, а какой — полусумме. Полусумма всегда больше полуразности. Значит, 5 — это полусумма, а 3 — полуразность.
2. Пусть \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее основание. Тогда:
• \( \frac{a+b}{2} = 5 \)
• \( \frac{a-b}{2} = 3 \)
3. Решим систему уравнений:
• Сложим оба уравнения: \( \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = 5 + 3 \) \( \frac{2a}{2} = 8 \) \( a = 8 \).
• Подставим \( a = 8 \) в первое уравнение: \( \frac{8+b}{2} = 5 \) \( 8+b = 10 \) \( b = 2 \).

Ответ: 2