5. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция \( ABCD \) с основаниями \( AD ― \parallel BC \). \( AB = CD \).
2. Пусть \( BH \) — высота, проведённая из вершины \( B \) к основанию \( AD \). \( BH ⊥ AD \).
3. В равнобедренной трапеции высота, проведённая к основанию, делит его пополам. То есть \( AH = HD \).
4. Высота \( BH \) делит большее основание \( AD \) на отрезки \( AH \) и \( HD \).
5. В условии сказано, что большее основание делится на отрезки длиной 2 и 5.
6. Значит, \( AH = 2 \) и \( HD = 5 \) (или наоборот).
7. Так как трапеция равнобедренная, \( AH = HD \).
8. Это означает, что \( 2 \neq 5 \), поэтому данное условие невозможно для равнобедренной трапеции, если высота опущена из вершины меньшего основания на большее основание.
9. Возможно, высота опущена из вершины меньшего основания \( B \) на большее основание \( AD \), и точка \( H \) лежит на \( AD \).
10. Пусть \( BH ⊥ AD \). Тогда \( \angle BHA = 90° \).
11. В равнобедренной трапеции \( AB = CD \).
12. \( AH = HD \) в случае, когда высота опущена из середины меньшего основания на большее.
13. Однако, если мы проведем высоту \( BH \) из вершины \( B \) на \( AD \), то \( AH \) и \( HD \) будут отрезками большего основания.
14. \( AD = AH + HD \).
15. В равнобедренной трапеции \( AH = \frac{AD - BC}{2} \) и \( HD = \frac{AD - BC}{2} + BC \) (или \( AH = \frac{AD - BC}{2} + BC \) и \( HD = \frac{AD - BC}{2} \)).
16. Предположим, что точка \( H \) лежит на \( AD \), и \( AH = 2 \) и \( HD = 5 \). Тогда \( AD = AH + HD = 2 + 5 = 7 \).
17. В равнобедренной трапеции \( AH = HD \). Здесь \( 2 \neq 5 \).
18. Если провести высоту из вершины \( B \) на \( AD \), то \( AH = \frac{AD - BC}{2} \).
19. Если провести высоту из вершины \( C \) на \( AD \), то \( DK = \frac{AD - BC}{2} \), где \( CK ⊥ AD \).
20. Пусть \( BH \) — высота, \( H ∈ AD \). Тогда \( AH = \frac{AD-BC}{2} \).
21. Пусть \( CK \) — высота, \( K ∈ AD \). Тогда \( DK = \frac{AD-BC}{2} \).
22. \( BC = HK \).
23. В прямоугольном \( \triangle ABH \): \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
24. В прямоугольном \( \triangle CDK \): \( CD^2 = DK^2 + CK^2 \). \( AB = CD \), \( BH = CK \). \( AH = DK \).
25. \( AD = AH + HK + KD = 2 \times AH + BC \).
26. Отрезки, на которые большее основание делится высотой, — это \( AH \) и \( HD \).
27. Если \( H \) — проекция \( B \) на \( AD \), то \( AH = \frac{AD - BC}{2} \). \( HD = AD - AH = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2} \).
28. По условию, эти отрезки равны 2 и 5.
29. Случай 1: \( AH = 2 \) и \( HD = 5 \).
30. \( \frac{AD - BC}{2} = 2 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( AD - BC = 4 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( AD = BC + 4 \).
31. \( \frac{AD + BC}{2} = 5 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( AD + BC = 10 \).
32. Подставим \( AD = BC + 4 \) во второе уравнение: \( (BC + 4) + BC = 10 \).
33. \( 2BC + 4 = 10 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( 2BC = 6 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( BC = 3 \).
34. Случай 2: \( AH = 5 \) и \( HD = 2 \).
35. \( \frac{AD - BC}{2} = 5 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( AD - BC = 10 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( AD = BC + 10 \).
36. \( \frac{AD + BC}{2} = 2 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( AD + BC = 4 \).
37. Подставим \( AD = BC + 10 \) во второе уравнение: \( (BC + 10) + BC = 4 \).
38. \( 2BC + 10 = 4 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( 2BC = -6 \) \( … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … \) \( BC = -3 \). Длина не может быть отрицательной, значит, этот случай невозможен.
39. Таким образом, меньшее основание равно 3.

Ответ: 3.