1. Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: xn = (2/3)^2n.

Question

Вопрос:

Фото задания

1. Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: xn = (2/3)^2n.

Accepted Answer

Задание 1. Является ли последовательность геометрической прогрессией

Дано: формула n-го члена последовательности $ x_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} $.

Решение:

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно проверить, постоянно ли отношение последующего члена к предыдущему.
Запишем отношение $ \frac{x_{n+1}}{x_n} $:

$$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2(n+1)}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}} $$

Упростим выражение:

$$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2n+2}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{(2n+2) - 2n} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$

Так как отношение $ \frac{x_{n+1}}{x_n} $ постоянно и равно $ \frac{4}{9} $ (и не равно нулю), то данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является.