Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. [3] 3/2; 1; 2/3; 4/9; ...Фото задания

Ответ:

Задание 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Дано: последовательность \( \frac{3}{2}; 1; \frac{2}{3}; \frac{4}{9}; ... \)

Решение:

  1. Проверим, является ли данная последовательность геометрической прогрессией, найдя отношение последующего члена к предыдущему.
  2. Отношение второго члена к первому:
$$ \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 · \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$
  1. Отношение третьего члена ко второму:
$$ \frac{\frac{2}{3}}{1} = \frac{2}{3} $$
  1. Отношение четвертого члена к третьему:
$$ \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9} · \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$

Отношение между соседними членами последовательности постоянно и равно \( q = \frac{2}{3} \). Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Теперь проверим, является ли она бесконечно убывающей. Для этого нужно, чтобы \( |q| < 1 \).

В нашем случае \( |q| = \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3} \). Так как \( \frac{2}{3} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Найдем сумму этой прогрессии по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

$$ S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} · 3 = \frac{9}{2} $$

Ответ: Сумма прогрессии равна \( \frac{9}{2} \).