2. Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: bn = 3^(n-1) * 7^(2-n).

Question

Вопрос:

Фото задания

2. Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: bn = 3^(n-1) * 7^(2-n).

Accepted Answer

Задание 2. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией

Дано: формула n-го члена последовательности $ b_n = 3^{n-1} · 7^{2-n} $.

Решение:

Преобразуем формулу, чтобы увидеть знаменатель прогрессии:

$$ b_n = 3^{n-1} · 7^{2-n} = 3^{n-1} · 7^{2} · 7^{-n} = 49 · 3^{n-1} · \frac{1}{7^n} $$

Представим $ 3^{n-1} $ как $ \frac{3^n}{3} $:

$$ b_n = 49 · \frac{3^n}{3} · \frac{1}{7^n} = \frac{49}{3} · \frac{3^n}{7^n} = \frac{49}{3} · \left(\frac{3}{7}\right)^n $$

Теперь найдем отношение $ \frac{b_{n+1}}{b_n} $:

$$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{49}{3} · \left(\frac{3}{7}\right)^{n+1}}{\frac{49}{3} · \left(\frac{3}{7}\right)^n} = \left(\frac{3}{7}\right)^{(n+1)-n} = \left(\frac{3}{7}\right)^1 = \frac{3}{7} $$

Мы получили, что знаменатель прогрессии $ q = \frac{3}{7} $.

Чтобы последовательность была бесконечно убывающей геометрической прогрессией, необходимо выполнение двух условий:

1. Чтобы она была геометрической прогрессией (что мы доказали).
2. Чтобы модуль знаменателя $ |q| < 1 $.

В нашем случае $ |q| = \left|\frac{3}{7}\right| = \frac{3}{7} $, что меньше 1.

Также необходимо, чтобы первый член прогрессии был отличен от нуля. Найдем первый член:

$$ b_1 = 3^{1-1} · 7^{2-1} = 3^0 · 7^1 = 1 · 7 = 7 $$

Так как $ b_1 = 7 \neq 0 $ и $ |q| < 1 $, то последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является.