Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. [5] b3 = 2/3, b6 = 2/81.Фото задания

Ответ:

Задание 5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Дано:

  • Третий член прогрессии: \( b_3 = \frac{2}{3} \)
  • Шестой член прогрессии: \( b_6 = \frac{2}{81} \)

Найти: сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \).

Решение:

  1. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 · q^{n-1} \).
  2. Запишем уравнения для данных членов:
$$ b_3 = b_1 · q^{3-1} = b_1 · q^2 = \frac{2}{3} $$
$$ b_6 = b_1 · q^{6-1} = b_1 · q^5 = \frac{2}{81} $$
  1. Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти \( q \):
$$ \frac{b_1 · q^5}{b_1 · q^2} = \frac{\frac{2}{81}}{\frac{2}{3}} $$
$$ q^3 = \frac{2}{81} · \frac{3}{2} = \frac{6}{162} = \frac{1}{27} $$
  1. Найдем \( q \):
$$ q = ³{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} $$

Теперь найдем первый член прогрессии \( b_1 \), используя \( b_3 \):

$$ b_1 · q^2 = \frac{2}{3} $$
$$ b_1 · \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} $$
$$ b_1 · \frac{1}{9} = \frac{2}{3} $$
$$ b_1 = \frac{2}{3} · 9 = 6 $$

Мы получили \( b_1 = 6 \) и \( q = \frac{1}{3} \).

Проверим, является ли прогрессия бесконечно убывающей. Условие \( |q| < 1 \) выполняется, так как \( \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1 \).

Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

$$ S = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 · \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$

Ответ: Сумма прогрессии равна \( 9 \).