Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (3-5).

Задание 3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Дано:

• Первый член прогрессии: \( b_1 = \frac{1}{4} \)
• Знаменатель прогрессии: \( q = -\frac{1}{2} \)

Найти: сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \).

Решение:

1. Убедимся, что прогрессия является бесконечно убывающей. Для этого проверим условие \( |q| < 1 \).
2. В данном случае \( |q| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \). Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), условие выполняется.
3. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

4. Подставим значения \( b_1 \) и \( q \):

5. Разделим дроби:

Ответ: Сумма прогрессии равна \( \frac{1}{6} \).