10. (1 балл) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту CH.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с \( AC = BC \). Основание \( AB = 6 \).

Известно, что \( \cos A = \frac{3}{5} \).

В равнобедренном треугольнике высота \( CH \) к основанию \( AB \) является также медианой. Следовательно, \( AH = HB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACH \). В нём:

• Угол \( A \) — известный.
• Сторона \( AH = 3 \).
• Сторона \( CH \) — искомая высота.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos A = \frac{AH}{AC} \]

Нам нужно найти \( AC \). Выразим \( AC \) из формулы:

\[ AC = \frac{AH}{\cos A} \]

Подставим известные значения:

\[ AC = \frac{3}{\frac{3}{5}} = 3 × \frac{5}{3} = 5 \]

Теперь, зная \( AC \) и \( AH \), мы можем найти высоту \( CH \) по теореме Пифагора в \( \triangle ACH \):

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]\[ CH^2 = AC^2 - AH^2 \]\[ CH^2 = 5^2 - 3^2 \]\[ CH^2 = 25 - 9 \]\[ CH^2 = 16 \]\[ CH = \sqrt{16} \]\[ CH = 4 \]

Ответ: CH = 4.