10.1. Найти производные: а) \(y=2^{x/\ln x}\); б) \(y=\sin(\cos^2 x)\cdot\cos(\sin^2 x)\).

а) Используем правило производной показательной функции и правило цепочки:

Пусть \(u=\dfrac{x}{\ln x}\). Тогда \(u'=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}\).

Следовательно, \(y'=2^{x/\ln x}\ln 2\cdot\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}\).

б) Применяем правило произведения и правило цепочки:

\(y'=(-\sin 2x)\bigl[\cos(\cos^2x)\cos(\sin^2x)+\sin(\cos^2x)\sin(\sin^2x)\bigr]\).

По формуле \(\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B)\), а \(\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\).

Ответ: а) \(y'=2^{x/\ln x}\ln 2\cdot\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}\); б) \(y'=-\sin 2x\cos(\cos 2x)\).