10.5. Найти производные: а) \(y=\ln\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}\); б) \(y=\dfrac12\ctg^2x+\ln(\sin x)\).

а) Представим логарифм корня как половину логарифма:

\(y'=\dfrac12\left(-\dfrac{\cos x}{1-\sin x}-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right)=-\dfrac{\cos x}{1-\sin^2x}=-\dfrac1{\cos x}\).

б) Используем \((\ctg x)'=-\dfrac1{\sin^2x}\) и \((\ln(\sin x))'=\ctg x\):

\(y'=-\ctg x\cdot\dfrac1{\sin^2x}+\ctg x=\ctg x(1-\csc^2x)=-\ctg^3x\).

Ответ: а) \(y'=-\dfrac1{\cos x}\); б) \(y'=-\ctg^3x\).