10.2. Найти производные: а) $y=\sin[\sin(\sin x)]$; б) $y=-\dfrac{\cos x}{2\sin^2 x}+\ln\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10.2. Найти производные: а) $y=\sin[\sin(\sin x)]$; б) $y=-\dfrac{\cos x}{2\sin^2 x}+\ln\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}}$.$ Фото задания

10.2. Найти производные: а) $y=\sin[\sin(\sin x)]$; б) $y=-\dfrac{\cos x}{2\sin^2 x}+\ln\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}}$.

Accepted Answer

а) Последовательно применяем правило цепочки к трём вложенным синусам:

$y'=\cos(\sin(\sin x))\cdot\cos(\sin x)\cdot\cos x$.

б) Производная первого слагаемого:

$\left(-\dfrac{\cos x}{2\sin^2x}\right)'=\dfrac{1}{2\sin x}+\dfrac{\cos^2x}{\sin^3x}$.

Для второго слагаемого раскрываем логарифм корня: $\ln\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}}=\dfrac12[\ln(1+\cos x)-\ln(\sin x)]$. Поэтому его производная равна $-\dfrac{1}{2\sin x}$.

Слагаемые $\dfrac{1}{2\sin x}$ сокращаются.

Ответ: а) $y'=\cos(\sin(\sin x))\cos(\sin x)\cos x$; б) $y'=\dfrac{\cos^2x}{\sin^3x}$.

10.2. Найти производные: а) \(y=\sin[\sin(\sin x)]\); б) \(y=-\dfrac{\cos x}{2\sin^2 x}+\ln\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}}\).

Ответ: