10.4. Найти производные: а) \(y=\sin[\cos^2( g^3 x)]\); б) \(y=x(\arcsin x)^2-2\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x\).

а) Последовательно применяем правило цепочки. Производная \( g^3x\) равна \(3 g^2x\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}\), а производная \(\cos^2( g^3x)\) — \(-2\cos( g^3x)\sin( g^3x)\cdot3 g^2x\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}\).

Ответ: \(y'=-6\cos(\cos^2( g^3x))\cos( g^3x)\sin( g^3x)\dfrac{ g^2x}{\cos^2x}\).

б) Обозначим \(a=\arcsin x\), тогда \(a'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\). Дифференцируя оба слагаемых по правилу произведения, получаем:

\((xa^2)'=a^2+\dfrac{2xa}{\sqrt{1-x^2}}\),

\((-2\sqrt{1-x^2}\,a)'=\dfrac{2xa}{\sqrt{1-x^2}}-2\).

Ответ: \(y'=(\arcsin x)^2+\dfrac{4x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}-2\).