10.3. Найти производные: а) \(y=\dfrac{\sin^2 x}{\sin x^2}\); б) \(y=\arctg e^x-\ln\sqrt{\dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}\).

а) В знаменателе записано \(\sin(x^2)\). Применяем правило производной частного:

\((\sin^2x)'=2\sin x\cos x\), а \((\sin(x^2))'=2x\cos(x^2)\).

Ответ: \(y'=\dfrac{2\sin x\cos x\sin(x^2)-2x\sin^2x\cos(x^2)}{\sin^2(x^2)}\).

б) Производная первого слагаемого равна \(\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\). Для второго используем \(\ln\sqrt{A}= frac12\ln A\):

\(\left(\ln\sqrt{\dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}\right)'=\dfrac12\left(2-\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}\right)=\dfrac{1}{e^{2x}+1}\).

Учитываем знак минус перед логарифмом.

Ответ: \(y'=\dfrac{e^x-1}{e^{2x}+1}\).