№ 10. ABCD — параллелограмм, ∠A = ?°. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны; ∠ACD = 26°. Найти ∠A и отмеченный угол B между BA и BD.

В треугольнике COD угол при O равен 90°, а ∠OCD = ∠ACD = 26°. Тогда ∠CDO = 180° − 90° − 26° = 64°.

Диагональ BD делит угол D, поэтому ∠D = ∠CDB + ∠BDA = 64° + ∠BDA. Чтобы определить ∠BDA, используем подобие треугольников AOD и COD: оба прямоугольные, а ∠ADO = ∠CDO не следует из данных. Однако в параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому ∠BAO = ∠DCO = 26°. В прямоугольном треугольнике AOB, поскольку AO ⟂ BO, получаем искомый угол между BA и BD (то есть ∠ABO) = 180° − 90° − 26° = 64°.

Противоположные углы параллелограмма равны, а смежные в сумме дают 180°. Угол A образован сторонами, параллельными CD и BC, и равен углу C. В треугольнике ABC угол B равен 180° − (26° + 64°) = 90°, но это не задаёт угол A без направления диагонали относительно стороны: по данным ∠ACD = 26° и AC ⟂ BD действительно ∠BAC = ∠ACD = 26°, поскольку AB ∥ CD. Следовательно, ∠B = 90° и ∠A = 180° − ∠B − ∠C; при этом ∠C = ∠BCA = 180° − 26° − 90° = 64°. Поэтому ∠A = 64°.

Ответ: ∠A = 64°, отмеченный угол B = 64°.