№ 12. ABCD — четырёхугольник. CD = 10, диагонали AC и BD пересекаются в O. На AC отмечено AO = OC, на BD — BO = OD. Даны ∠BAC = 42° и ∠BDC = 48°. Найти BC и отмеченный угол между диагоналями.

Так как диагонали делятся точкой O пополам, четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Его противоположные стороны равны, следовательно, BC = AD, но длина AD не задана.

Угол между диагоналями также нельзя однозначно определить из приведённых данных: заданные углы относятся к сторонам AB, AC, DC, BD, но не задают направления диагоналей относительно друг друга с достаточной точностью. Нужны дополнительные условия, например ещё один угол или длина стороны.

Можно определить угол при A треугольника AOD: поскольку AB ∥ CD, из ∠BDC = 48° следует ∠ABO = 48°. Однако это не определяет длину BC и отмеченный угол диагоналей без дополнительного независимого условия.

Ответ: данных недостаточно, чтобы найти BC и угол между диагоналями.