10. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, AB = a. Найдите расстояние между A₁B и DB₁.

Зададим координаты в единицах длины a: A₁(0, 0, 1), B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), B₁(0, 1, 1).

Направляющие векторы прямых A₁B и DB₁: u = (0, 1, −1), v = (−1, 1, 1). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно \(d=\dfrac{|(D-A_1)\cdot(u\times v)|}{|u\times v|}\).

Вычисляем: u × v = (2, 1, 1), (D − A₁) · (u × v) = 1, |u × v| = √6. С учётом масштаба a получаем d = a/√6.

Ответ: \(\dfrac{a}{\sqrt{6}}\).