9. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, AB = a. Найдите расстояние между AB и DB₁.

Введём координаты в единицах длины a: A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), B₁(0, 1, 1).

Направляющие векторы прямых AB и DB₁: u = (0, 1, 0), v = (−1, 1, 1). Для расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу \(d=\dfrac{|(D-A)\cdot(u\times v)|}{|u\times v|}\).

Получаем u × v = (1, 0, 1), а |(D − A) · (u × v)| = 1 и |u × v| = √2. Учитывая масштаб a, получаем d = a/√2.

Ответ: \(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\).