12. ΔABC — правильный, AB = a, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁, AA₁ = BB₁ = CC₁. Найдите расстояние между A₁B и CC₁.

Опустим из C перпендикуляр к прямой AB; пусть его основание — точка H. Так как ABC — равносторонний треугольник, CH — высота, поэтому \(CH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\).

Прямая A₁B лежит в плоскости ABB₁A₁, а CC₁ параллельна BB₁. Отрезок CH перпендикулярен AB и направлению рёбер AA₁, BB₁, CC₁, поэтому он перпендикулярен обеим прямым; его концы принадлежат A₁B и CC₁ соответственно: H принадлежит AB ⊂ A₁B, а C принадлежит CC₁.

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\).