10. Баржа прошла по течению реки 40 км, и повернув обратно, прошла еще 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_b \) — собственная скорость баржи (км/ч).

Скорость течения реки \( v_r = 5 \) км/ч.

Скорость баржи по течению: \( v_{по \; тек} = v_b + v_r = v_b + 5 \) (км/ч).

Скорость баржи против течения: \( v_{против \; тек} = v_b - v_r = v_b - 5 \) (км/ч).

Время движения по течению: \( t_{по \; тек} = \frac{40}{v_b + 5} \) (ч).

Время движения против течения: \( t_{против \; тек} = \frac{30}{v_b - 5} \) (ч).

Общее время в пути: \( t_{общ} = t_{по \; тек} + t_{против \; тек} = 5 \) часов.

Составим уравнение:

\( \frac{40}{v_b + 5} + \frac{30}{v_b - 5} = 5 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v_b + 5)(v_b - 5) \), чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что \( v_b \neq 5 \) и \( v_b \neq -5 \)):

\( 40(v_b - 5) + 30(v_b + 5) = 5(v_b + 5)(v_b - 5) \)

\( 40v_b - 200 + 30v_b + 150 = 5(v_b^2 - 25) \)

\( 70v_b - 50 = 5v_b^2 - 125 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 5v_b^2 - 70v_b - 125 + 50 = 0 \)

\( 5v_b^2 - 70v_b - 75 = 0 \)

Разделим на 5:

\( v_b^2 - 14v_b - 15 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( v_b \) (через дискриминант или по теореме Виета).

Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).

Корни \( v_b \):

\( v_{b1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( v_{b2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Поскольку скорость не может быть отрицательной, второй корень отбрасываем.

Собственная скорость баржи равна 15 км/ч. Проверим условие \( v_b \neq 5 \), \( 15 \neq 5 \) — условие выполнено.

Ответ: 15 км/ч