10. Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

В 1:35 минутная стрелка находится на отметке 7, а часовая — между 1 и 2. Минутная стрелка впереди часовой. Скорость её движения относительно часовой равна \(6-0.5=5.5\) градуса в минуту.

Первое совпадение наступит, когда минутная стрелка догонит часовую, пройдя относительно неё оставшийся угол. Угол часовой стрелки от отметки 12 составляет \(30+0.5\cdot35=47.5^\circ\); угол минутной — \(6\cdot35=210^\circ\). С учётом полного оборота относительное отставание до следующего совпадения равно \(360-(210-47.5)=197.5^\circ\). Время до первого совпадения — \(197.5:5.5=\dfrac{395}{11}\) мин.

После каждого совпадения до следующего проходит \(360:5.5=\dfrac{720}{11}\) мин. Поэтому до десятого совпадения пройдёт:

\(\dfrac{395}{11}+9\cdot\dfrac{720}{11}=\dfrac{6875}{11}=625\dfrac{10}{11}\) мин.

Ответ: через \(625\dfrac{10}{11}\) минуты.