10. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является ромбом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны.

Пусть середины сторон исходного четырёхугольника образуют ромб. По теореме Вариньона сторона этого ромба, соединяющая середины соседних сторон исходного четырёхугольника, параллельна его диагонали и равна половине этой диагонали.

Так как все стороны ромба равны, равны и половины обеих диагоналей исходного четырёхугольника. Следовательно, равны сами диагонали.

Что и требовалось доказать.