10) Дан четырёхугольник с вершинами в точках A(1; 1), B(3; 5), C(5; 1), D(3; −3). Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(3-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}\).

\(BC=\sqrt{(5-3)^2+(1-5)^2}=\sqrt{20}\).

\(CD=\sqrt{(3-5)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}\).

\(DA=\sqrt{(1-3)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{20}\).

Все четыре стороны равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD — ромб.