10. Для уравнения ax + 12 = 2x − 3 найдите: а) все значения a, при которых корнем этого уравнения является число 8; б) все значения a, при которых это уравнение не имеет корней; в) все значения a, при которых корнем этого уравнения является натуральное число.

1. а) Подставляем \(x=8\): \(8a+12=16-3=13\), поэтому \(8a=1\) и \(a=\frac18\).
2. б) Переносим слагаемые: \((a-2)x=-15\). Уравнение не имеет корней, если коэффициент при x равен нулю, а правая часть ненулевая: \(a-2=0\), то есть \(a=2\).
3. в) При \(a\ne2\) получаем \(x=\frac{-15}{a-2}\). Пусть этот корень — натуральное число n. Тогда \(a=2-\frac{15}{n}\), где \(n\in\mathbb N\).

Ответ: а) \(a=\frac18\); б) \(a=2\); в) \(a=2-\frac{15}{n}\), где \(n\) — натуральное число.