10. Доказать тождество $(\vec a\times\vec b)^2(\vec a\times\vec c)^2-((\vec a\times\vec b)(\vec a\times\vec c))^2=\vec a^{\,2}(\vec a\vec b\vec c)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Доказать тождество \((\vec a\times\vec b)^2(\vec a\times\vec c)^2-((\vec a\times\vec b)(\vec a\times\vec c))^2=\vec…$ Фото задания

10. Доказать тождество $(\vec a\times\vec b)^2(\vec a\times\vec c)^2-((\vec a\times\vec b)(\vec a\times\vec c))^2=\vec a^{\,2}(\vec a\vec b\vec c)^2$.

Accepted Answer

Здесь квадрат вектора означает квадрат его длины, произведение двух векторов в скобках — скалярное произведение, а $(\vec a\vec b\vec c)=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ — смешанное произведение.

Обозначим $\vec u=\vec a\times\vec b$ и $\vec v=\vec a\times\vec c$. По тождеству Лагранжа левая часть равна $|\vec u\times\vec v|^2$.

Для этих векторов выполняется формула $(\vec a\times\vec b)\times(\vec a\times\vec c)=\vec a\,[\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)]$. Следовательно,

$|\vec u\times\vec v|^2=|\vec a|^2[\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)]^2=\vec a^{\,2}(\vec a\vec b\vec c)^2.$

Получили правую часть тождества, что и требовалось доказать.

10. Доказать тождество \((\vec a\times\vec b)^2(\vec a\times\vec c)^2-((\vec a\times\vec b)(\vec a\times\vec c))^2=\vec a^{\,2}(\vec a\vec b\vec c)^2\).

Ответ: