8. В прямоугольной системе координат заданы векторы $\vec a=(-2,-1,-3)$, $\vec b=(2,2,0)$ и $\vec c=(-18,0,12)$. Решить уравнение $\vec a\times(\vec b\times\vec x)=\vec c$ относительно неизвестного вектора $\vec x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. В прямоугольной системе координат заданы векторы $\vec a=(-2,-1,-3)$, $\vec b=(2,2,0)$ и $\vec c=(-18,0,12)$. Решить…$ Фото задания

8. В прямоугольной системе координат заданы векторы $\vec a=(-2,-1,-3)$, $\vec b=(2,2,0)$ и $\vec c=(-18,0,12)$. Решить уравнение $\vec a\times(\vec b\times\vec x)=\vec c$ относительно неизвестного вектора $\vec x$.

Accepted Answer

Используем формулу двойного векторного произведения: $\vec a\times(\vec b\times\vec x)=\vec b(\vec a\cdot\vec x)-\vec x(\vec a\cdot\vec b)$.

Вычислим $\vec a\cdot\vec b=-6$. Обозначим $s=\vec a\cdot\vec x$. Тогда уравнение принимает вид $6\vec x+s\vec b=\vec c$, откуда

$\vec x=\dfrac{\vec c-s\vec b}{6}=(-3,0,2)-\dfrac{s}{6}(2,2,0)$.

Поскольку $\vec a\cdot\vec c=0$ и $\vec a\cdot\vec b=-6$, условие $s=\vec a\cdot\vec x$ выполняется при любом $s$. Положив $\lambda=-s/6$, получаем все решения:

Ответ: $\vec x=(-3,0,2)+\lambda(2,2,0)$, где $\lambda\in\mathbb R$.