9. На плоскости даны два базиса: $(\vec a_1,\vec a_2)$ и $(\vec b_1,\vec b_2)$. Векторы второго базиса $\vec b_1$ и $\vec b_2$ имеют в первом базисе координаты $(-2,-1)$ и $(2,-3)$ соответственно. Записать формулы преобразования координат. Найти координаты вектора $\vec c=-2\vec b_1-2\vec b_2$ в первом базисе.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. На плоскости даны два базиса: $(\vec a_1,\vec a_2)$ и $(\vec b_1,\vec b_2)$. Векторы второго базиса $\vec b_1$ и…$ Фото задания

9. На плоскости даны два базиса: $(\vec a_1,\vec a_2)$ и $(\vec b_1,\vec b_2)$. Векторы второго базиса $\vec b_1$ и $\vec b_2$ имеют в первом базисе координаты $(-2,-1)$ и $(2,-3)$ соответственно. Записать формулы преобразования координат. Найти координаты вектора $\vec c=-2\vec b_1-2\vec b_2$ в первом базисе.

Accepted Answer

Из заданных координат: $\vec b_1=-2\vec a_1-\vec a_2$, $\vec b_2=2\vec a_1-3\vec a_2$.

Если координаты вектора в базисе $(\vec b_1,\vec b_2)$ равны $(y_1,y_2)$, а в базисе $(\vec a_1,\vec a_2)$ — $(x_1,x_2)$, то

$x_1=-2y_1+2y_2,\quad x_2=-y_1-3y_2.$

Обратное преобразование (определитель матрицы перехода равен $8$):

$y_1=\dfrac{-3x_1-2x_2}{8},\quad y_2=\dfrac{x_1-2x_2}{8}.$

Для искомого вектора $\vec c=-2\vec b_1-2\vec b_2$, поэтому его координаты в первом базисе равны $-2(-2,-1)-2(2,-3)=(0,8)$.

Ответ: координаты $\vec c$ в первом базисе — $(0,8)$.