10. Три некомпланарных вектора приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору \(\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec a\).

Направляющими векторами плоскости, проходящей через концы векторов, можно взять \(\vec b-\vec a\) и \(\vec c-\vec a\). По условию векторы некомпланарны, поэтому эти направления задают плоскость.

Преобразуем указанный вектор:

\(\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec a=(\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec a).\)

Векторное произведение правой части перпендикулярно обоим векторам \(\vec b-\vec a\) и \(\vec c-\vec a\), лежащим в данной плоскости. Значит, оно перпендикулярно плоскости.

Следовательно, плоскость, проходящая через концы векторов, перпендикулярна вектору \(\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec a\).