8. В прямоугольной системе координат заданы векторы $\vec a=(0,-1,-2)$, $\vec b=(3,1,-2)$ и $\vec c=(3,-8,4)$. Решить уравнение $\vec a\times(\vec b\times\vec x)=\vec c$ относительно неизвестного вектора $\vec x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. В прямоугольной системе координат заданы векторы $\vec a=(0,-1,-2)$, $\vec b=(3,1,-2)$ и $\vec c=(3,-8,4)$. Решить…$ Фото задания

8. В прямоугольной системе координат заданы векторы $\vec a=(0,-1,-2)$, $\vec b=(3,1,-2)$ и $\vec c=(3,-8,4)$. Решить уравнение $\vec a\times(\vec b\times\vec x)=\vec c$ относительно неизвестного вектора $\vec x$.

Accepted Answer

По формуле $\vec a\times(\vec b\times\vec x)=\vec b(\vec a\cdot\vec x)-\vec x(\vec a\cdot\vec b)$. Здесь $\vec a\cdot\vec b=3$. Обозначим $s=\vec a\cdot\vec x$. Тогда уравнение принимает вид $s\vec b-3\vec x=\vec c$, поэтому

$\vec x=\dfrac{s\vec b-\vec c}{3}=\dfrac{s}{3}(3,1,-2)-(1,-8/3,4/3).$

Так как $\vec a\cdot\vec c=0$, условие $s=\vec a\cdot\vec x$ выполняется при любом $s$. Положив $\lambda=s/3$, получаем все решения:

Ответ: $\vec x=(-1,8/3,-4/3)+\lambda(3,1,-2)$, где $\lambda\in\mathbb R$.