10. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на ее средней линии (или на ее продолжении).

Пусть ABCD — трапеция, AB ∥ CD, а AD — боковая сторона. Биссектрисы углов при этой стороне пересекаются в точке P.

Так как P лежит на биссектрисе угла A, расстояния от P до прямых AB и AD равны. Так как P лежит на биссектрисе угла D, расстояния от P до прямых CD и AD также равны. Значит, расстояния от P до прямых AB и CD одинаковы.

Поскольку AB и CD параллельны, множество точек, равноудалённых от этих прямых, образует прямую, параллельную им и проходящую посередине между ними. Это и есть прямая средней линии трапеции. Поэтому P лежит на средней линии или на её продолжении.