11. В трапеции провели биссектрисы всех углов. Найдите расстояние между отмеченными на рисунке точками их пересечения, если основания трапеции равны a и b, а боковые стороны — c и d.

Пусть верхнее основание равно a, нижнее — b, левая боковая сторона — c, правая — d. Обозначим высоту трапеции через h, а горизонтальные проекции боковых сторон — через u и v, считая их со знаками. Тогда \(b=a+v-u\), \(c^2=u^2+h^2\), \(d^2=v^2+h^2\).

Каждая из отмеченных точек лежит на биссектрисах двух углов при одной боковой стороне. Поэтому она равноудалена от оснований и находится на прямой средней линии.

Для левой отмеченной точки пересечение биссектрис даёт горизонтальное смещение от верхней левой вершины \((c+u)/2\). Для правой точки смещение влево от верхней правой вершины равно \((d-v)/2\). Следовательно, ориентированное расстояние между точками равно \(a-(c+u+d-v)/2\). Подставляя \(b=a+v-u\), получаем \((a+b-c-d)/2\).

Расстояние как неотрицательная величина равно модулю этого выражения.

Ответ: \(\frac{|a+b-c-d|}{2}\).