9. Средняя линия четырехугольника равна полусумме двух его сторон, не имеющих с ней общих точек. Докажите, что данный четырехугольник — трапеция или параллелограмм.

Обозначим четырёхугольник ABCD так, что средняя линия MN соединяет середины AB и CD. Тогда MN не имеет общих точек со сторонами AD и BC. По теореме о средней линии треугольника:

\(\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\).

Следовательно, \(MN\leq\frac12(AD+BC)\), поскольку длина суммы векторов не больше суммы их длин. По условию длины равны, значит, наступает равенство в неравенстве треугольника: векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) направлены одинаково. Поэтому \(AD\parallel BC\).

Итак, у четырёхугольника есть параллельная пара противоположных сторон, следовательно, он является трапецией; если параллельны также AB и CD, то это параллелограмм.