10. Докажите, что выражение 5³ + 3⋅5⁴ + 2⋅5⁵ кратно 66.

Решение:

Вынесем общий множитель \( 5^3 \) из выражения:

\[ 5^3 + 3 \cdot 5^4 + 2 \cdot 5^5 = 5^3(1 + 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^2) \]

Вычислим значение в скобках:

\[ 1 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 25 = 1 + 15 + 50 = 66 \]

Таким образом, выражение равно:

\[ 5^3 \cdot 66 \]

Поскольку одно из множителей равно 66, то всё выражение кратно 66.

Доказано.