10. Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке \(O\) и перпендикулярны. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(AOD\): \(AO\) — общий катет, \(OB=OD\), поэтому треугольники равны. Следовательно, \(AB=AD\). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(AB=BC=CD=DA\). Следовательно, параллелограмм — ромб.

б) Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам: \(\angle BAC=\angle CAD\). Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle BCA=\angle CAD\), а так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle ACD=\angle BAC\). Значит, треугольники \(ABC\) и \(CDA\) подобны. Сторона \(AC\) соответствует самой себе, поэтому коэффициент подобия равен 1, и треугольники равны. Отсюда \(AB=AD\). В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому все четыре стороны равны. Следовательно, параллелограмм — ромб.