12. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а) Нет. Равенство и перпендикулярность диагоналей сами по себе не гарантируют, что они делятся пополам. Поэтому четырёхугольник может не быть параллелограммом и, следовательно, не обязан быть квадратом.

б) Нет. Если диагонали имеют общую середину, четырёхугольник является параллелограммом. Перпендикулярные диагонали параллелограмма означают, что это ромб, но ромб не обязательно имеет прямые углы.

в) Да. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник — параллелограмм. Перпендикулярные диагонали параллелограмма дают ромб, а равные диагонали — прямоугольник. Параллелограмм, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла, то есть является квадратом.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.