10. (Дополнительная задача.) Какое наибольшее число лучей может выходить из одной точки, чтобы все углы, образованные соседними лучами, были тупыми

Пошаговое решение:

Пусть из одной точки выходит n лучей. Тогда образуется n углов. Каждый из этих углов должен быть тупым, то есть больше 90° и меньше 180°.

Пусть углы равны $$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$$.

Тогда $$90° < \alpha_i < 180°$$ для всех i от 1 до n.

Сумма всех углов вокруг точки равна 360°.

$$\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n = 360°.$$

Если бы у нас было 4 тупых угла, то минимальная сумма была бы 4 * 90° = 360°. Но углы должны быть строго больше 90°. Поэтому 4 тупых угла не могут суммироваться в 360°.

Если у нас 3 тупых угла, то минимальная сумма была бы 3 * 90° = 270°. Максимальная сумма была бы 3 * 180° = 540°.

Можем ли мы найти три тупых угла, сумма которых равна 360°? Да. Например, 120° + 120° + 120° = 360°.

Следовательно, наибольшее число лучей, которое может выходить из одной точки, чтобы все углы, образованные соседними лучами, были тупыми, равно 3.

Ответ: 3